Esta memoria se sitúa en el contexto de la enseñanaza de la demostración, tanto en la Educación Secundaria como en niveles de enseñanaza superiores. A día de hoy, nadie duda de la importancia de la demostración en matemáticas y, en general, principalmente en la secundaria, los estudiantes muestran muchísimas carencias al respecto. Este déficit proviene de un cúmulo de factores: el currículum, los libros de texto, las dificultades de los alumnos en el aprendizaje y de los profesores a la hora de enseñar, etc. Algunos matemáticos y didactas al utilizar el término demostración se refieren única y exclusivamente a las demostraciones deductivas formales (Knowles, 1998); otros, tienen una visión más amplia (Bell, 1976a; Balacheff, 1988 y Hanna, 1995). Demostrar, probar, justificar, argumentar, verificar son términos que se utilizan con frecuencia en relación con la demostración matemática, unas veces como sinónimos, otras con significados diferentes (De Villiers, 1993). Llamamos demostración matemática a cualquier argumento matemático elaborado para convencer a uno mismo o a un interlocutor de la veracidad de una afirmación matemática Nuestro objetivo principal es analizar las dificultades mostradas por los estudiantes a la hora de afrontar el proceso de demostración, observando como varía esta dificultad atendiendo a diversos factores y, como consecuencia, ser capaces de establecer conclusiones que aporten información sobre el estado actual del problema tanto en la Educación Secundaria como en los primeros años de educación universitaria. Esta enseñanza y aprendizaje depende de muchos factores: matemático e histórico-epistemológicos, cognitivos y socio-culturales (Harel y Sowder, 2007), a partir de los cuales una gran cantidad de autores se han hecho diversas preguntas: ¿cuáles son las funciones de la demostración?, ¿qué visión tienen los estudiantes de la demostración? A lo largo de la historia la noción de demostración ha sido cambiante y ha ido evolucionando en función, primero de las necesidades primarias y más tarde de las visiones de cada época. A día de hoy muchos didactas (Sfard, 1995) establecen un paralelismo entre la evolución natural del aprendizaje de la demostración en las aulas y la evolución histórica de ésta a lo largo de los años. Algunos investigadores (Bell, 1976a y b; Blacheff, 1988; etc) han analizado los tipos de demostraciones realizadas por estudiantes de diferentes edades y han identidficado diversos tipos de demostración que nos permiten delimitar en qué punto se encuentra el aprendizaje del alumno y por tanto, saber dónde enfatizar nuestra enseñanza. En esta memoria presentamos resultados de un estudio experimental que ha consistido en observar las resoluciones de un conjunto de problemas por distintos grupos de alumnos en el aula. Estos problemas tienen la característica común de pedir a los estudiantes una respuesta razonada, de manera que les permitan mostrarnos sus aptitudes en el campo de la demostración. Nuestros objetivos específicos son: 1) Analizar las posibles diferencias entre cursos en lo referente a la corrección de las resoluciones presentadas por los alumnos. 2) Analizar las posibles diferencias entre cursos en lo referente a los tipos de demostración que aparezcan en las resoluciones de los alumnos. 3) Focalizar los objetivos 1) y 2) en estudiar las diferencias entre estudiantes de capacidades matemáticas medias y estudiantes de altas capacidades matemáticas del mismo nivel. 4) Analizar, a partir de la información proporcionada por el alumno en las entrevistas personales, las diferencias de dificultad encontradas entre las partes A y B de los enunciados y las creencias que tienen alrededor de la necesidad de demostrar. 5) A partir de los tipos de demostraciones hechas por los estudiantes, intentar refinar la clasificación de tipos de demostración de nuestro marco teórico de partida. En el capítulo 2 de esta memoria realizaremos una breve revisión bibliográfica de los trabajos más significativos en relación con el campo de la demostración matemática. El capítulo 3 irá exclusivamente dedicado a desarrollar el marco teórico en el que basaremos nuestra experimentación, mientras que en los capítulos 4, 5 y 6 nos ocuparemos de todo lo relacionado con el experimento llevado a cabo en las aulas, tanto su diseño como los resultados obtenidos al realizar el análisis correspondiente. Por último, en el capítulo 7 expondremos los conclusiones extraídas de los datos observados, partiendo de los objetivos establecidos al comienzo del trabajo.