El desarrollo de la tecnología es una constante en nuestro diario vivir, la multitud de aplicaciones y su constante evolución permean todos los ámbitos incluyendo la manera en que se concibe la enseñanza y el aprendizaje en las aulas. Es por ello que la adaptación a estas nuevas formas de entender la enseñanza es un factor importante para poder lograr un aprendizaje eficaz por parte de los alumnos. En la perspectiva del álgebra, la importancia de las nuevas tecnologías también es palpable con la aparición de los CAS (Computer Algebra System) y las calculadoras graficadoras con paquetes de cálculo simbólico o sin él. Su incorporación a las aulas es un proceso que aún no culmina, como lo ponen de presente Drijvers y Weigand (2010), quienes revisando el ICMI 17 Study, Mathematics Education and Technology. Rethinking the Terrain (Hoyles y Lagrange, 2010), encuentran expresiones como “[...]La tecnología sigue desempeñando un papel marginal en los salones de clase de matemáticas” (p. 312) o “el impacto de esta tecnología (CAS) en la mayoría de los programas de hoy es débil” (p. 426). (Drijvers y Weigand, 2010, p. 666) Sin embargo con el continuo desarrollo de la tecnología, actualmente los CAS brindan aún más posibilidades, como lo ponen de manifiesto Heid, Thomas, y Zbiek (2013): "Con un acceso constante a CAS, la naturaleza de las tareas, las interacciones en el aula, y las visiones de las matemáticas podrían transformarse. [...] Debido a la capacidad de los CAS para ejecutar procedimientos simbólicos con rapidez y precisión, el tiempo disponible para que los estudiantes participen regularmente en una gama más amplia de tipos de tareas. La capacidad de manipulación simbólica de los CAS permite la exploración de diferentes ideas matemáticas en formas que no eran posibles o factibles sin tal ayuda tecnológica. Estas nuevas oportunidades implican la exploración de invariantes matemáticos, la vinculación activa de las representaciones dinámicas, el enlace con datos reales y simulaciones realistas de las relaciones matemáticas. Con la bienvenida de los CAS en las aulas de la escuela, los cambios pueden ocurrir no sólo en las tareas, sino también en los modos de interacción entre profesores y estudiantes". (Heid, Thomas, y Zbiek, 2013, p. 600). Estos aspectos que marcan Drijvers y Weigand (2010), y Heid, et al., (2013) proporcionan amplias posibilidades de investigación, así compartimos plenamente la posición de Filloy, Puig y Rojano (2008), para quienes las TIC en la enseñanza del álgebra están lejos de ser un tema agotado en el campo de la investigación. De otra parte, en la investigación sobre la enseñanza del álgebra varios enfoques se han desarrollado en las últimas décadas, como lo explican Puig y Monzó (2008): [...] "el álgebra en el currículo de secundaria ha de presentarse, al menos, desde tres puntos de vista: el álgebra como un sistema de signos en que realizar los procesos de generalización, abstracción y demostración; el álgebra como un instrumento para la resolución de problemas a través de la traducción de éstos a sistemas de ecuaciones o gráficas de funciones, y el álgebra como sistema de signos que permite que los fenómenos modelados mediante funciones se organicen en familias, cuyas características se establecen y se estudian en el plano de la expresión." (Puig y Monzó, 2008, p. 142.) Desde la perspectiva de nuestro trabajo, son muy relevantes los dos últimos aspectos, el enfoque en resolución de problemas y el enfoque de la modelización de funciones. Estas ideas sobre el estudio del álgebra y el uso de la tecnología marcan las principales directrices de este trabajo. De esta manera entendemos los procesos de modelización como una extensión de la resolución de problemas en la línea que se ha venido trabajando en el Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Valencia, bajo la dirección de Luis Puig. Así, debemos puntualizar que nuestro estudio se encuentra enmarcado dentro de una línea de trabajos que pretenden presentar un modelo de enseñanza, con ayuda de la tecnología, que permita estudiar el proceso de modelización, los conceptos de familia de funciones y forma canónica de una familia de funciones y el significado de los parámetros de las formas canónicas respecto a la función y al fenómeno que se modeliza, así como analizar los resultados tras la aplicación del mismo. La investigación pretende responder las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo puede el uso de GeoGebra integrarse en una secuencia de aprendizaje para promover competencias de modelización de las familias de funciones? 2. ¿Cuáles son las actuaciones de los estudiantes cuando modelizan situaciones mediante familias de funciones, estando siendo instruidos con una secuencia de enseñanza que incluye el uso de GeoGebra? Para poder contestar a estas cuestiones, se ha elaborado una unidad de enseñanza sobre familias de funciones y modelización, utilizando tecnología, en particular el paquete informático GeoGebra (GG).
En la unidad de enseñanza además se incluían desde una perspectiva realista (RME) situaciones del ámbito de las ciencias económico-administrativas para ser modelizadas. La unidad (20 horas) se desarrolló durante un cuatrimestre de un primer curso universitario de matemáticas para las carreras de ciencias económico-administrativas en una universidad privada en Bogotá, Colombia. De otra parte se ha llevado a cabo un estudio de casos y un estudio de grupo. El estudio de casos tenía una naturaleza exploratoria y su finalidad era la de proporcionar observaciones empíricas de las actuaciones de los resolutores cuando resolvían situaciones de modelización con ayuda de GeoGebra (GG) después de haber recibido enseñanza. La articulación del estudio de grupo sigue el esquema: primera toma de datos, intervención, segunda toma de datos. El estudio de grupo tiene una perspectiva cualitativa, y la interpretación de los resultados que proporcione se apoyará en un análisis cualitativo de los datos, así como en las actuaciones observadas en el estudio de casos. Utilizamos como marco teórico y metodológico los Modelos Teóricos Locales (Puig, 2006, Filloy, Puig y Rojano, 2008). Este marco nos permite efectuar la observación y el análisis de los fenómenos al considerar los elementos esenciales de todo proceso de enseñanza y aprendizaje: la enseñanza, los sujetos que aprenden, el conocimiento matemático puesto en juego y la comunicación establecida. Desde la perspectiva de los Modelos Teóricos Locales (MTL), estos elementos se incorporan al estudio al construirse respectivamente: un modelo de enseñanza, un modelo de procesos cognitivos o de actuación, un modelo de competencia formal y un modelo de comunicación. Las conclusiones de la investigación resumen las actuaciones de los estudiantes tanto en el estudio de grupo como en el estudio de casos, las hemos organizado en grandes apartados, a continuación presentamos las mas relevantes: • Ideas de Ajuste: los estudiantes tienen diferentes formas de aproximarse, de comprender y de usar la idea de ajuste, dependiendo de los elementos de que dispongan como apoyo (tablas, gráficas, herramientas estadísticas del paquete informático) y de otra parte de la etapa o momento en el proceso de modelización en que se encuentren. • Tendencia a la Linealidad: algunos estudiantes tienden a ver la nube de puntos como una función lineal. • Tendencia a utilizar las herramientas estadísticas del GG para hallar la función del mejor ajuste • Otros Métodos para realizar el Ajuste: los estudiantes además del ajuste manual y el uso de las herramientas estadísticas del GG, también emplean un ajuste manual con el uso del deslizador y un ajuste utilizando la herramienta “arrastre” de los paquetes de geometría dinámica. • Uso de las coordenadas de un punto como Indicador Paramétrico para los desplazamientos de las funciones. • Los estudiantes utilizan el Análisis Cualitativo del proceso como mecanismo de control.The technology development is a constant in our daily lives, the multitude of applications and their constant evolution permeates every aspect including how teaching and learning in the classroom is conceived. That is the reason why adaptation to these new ways of understanding teaching is an important factor to achieve effective learning by students In the perspective of algebra, the importance of new technologies is also evident with the appearance of the CAS (Computer Algebra System) and graphing calculators with or without symbolic computation software. Their incorporation into the classroom is still limited. Drijvers & Weigand (2010), reviewed the ICMI 17 Study, Mathematics Education and Technology—Rethinking the Terrain (Hoyles & Lagrange 2010), and they found that ‘‘... technology still plays a marginal role in mathematics classrooms’’ (p. 312) or ‘‘the impact of this technology (CAS) on most curricula is weak today’’ (p. 426). (Drijvers & Weigand, 2010, p. 666). However with the continuous development of technology, currently the CAS provide further possibilities, as evidenced Heid, Thomas, and Zbiek (2013): With constant access to CAS, the nature of tasks, classroom interactions, and views of mathematics could be transformed. […] Because of the CAS capacity to execute symbolic procedures rapidly and accu- rately, time is available to engage students regularly in an expanded range of task types. The symbolic manipulation capacity of the CAS allows for exploration of different mathematical ideas in ways that were either not possible or not feasible without such technological help. These new opportunities involve exploration of mathematical invariants, active linking of dynamic representations, and engagemen with real data and simulations of real and mathematical relationships. With the welcoming of CAS in school classrooms, changes can occur not only in the tasks but also in the modes of interaction among teachers and students. (Heid, Thomas, y Zbiek, 2013, p. 600). These aspects that point Drijvers & Weigand (2010), and Heid, et al., (2013) provide ample opportunities for research, and we fully agree the position of Filloy, Puig and Rojano (2008), for whom ICT in teaching algebra are far from being an exhausted topic in the field of research. On the other hand, research on teaching algebra several approaches have been developed in recent decades, as explained Puig and Monzo (2008): [...] "Algebra in high school curriculum has to be approach at least from three viewpoints: algebra as a system of signs in which processes of generalization, abstraction and demonstration are made; algebra as an instrument to solve problems through their translation to systems of equations or graphs of functions, and algebra as a sign system that allows to organize phenomena modeled by functions in families of functions whose features are set up and discussed in the level of expression." (Puig and Monzó, 2008, p. 142.) From the perspective of our work, the last two aspects are very important, the focus on problem solving and the approach through modeling functions. These ideas about the study of algebra and the use of technology make the main guidelines of our work. In this way we understand the modeling process as a kind of problem solving process, following the work developed in the Department of Didactics of Mathematics at the University of Valencia, under the direction of Luis Puig. Thus, our study is part of a research project in which teaching models with the use of technology are developed to study the modeling process, the concepts of family functions and canonical form of a family function and the meaning of the parameters of the canonical forms regarding both the function and the modeled phenomenon, and to analyze the performances of pupils after implementation. Our research aims to answer the following questions: 1. How can the use of GeoGebra be integrated into a learning sequence to promote modeling skills of families of functions? 2. What are the performances of students when they model situations with families of functions, while being taught with a teaching sequence that includes the use of GeoGebra? To answer these questions, it has been developed a teaching unit on families of functions and modeling, using GeoGebra. This teaching unit included also a realistic approach (RME), by presenting situations in the field of Economics and Management to be modeled. The unit (20 hours) was developed over a semester of a first university mathematics course for the grade on Economics and Management at a private university in Bogotá, Colombia. A case study and a study group have been carried out. The case study had an exploratory nature and its purpose was to provide empirical observations of the performances of the students when they solved modeling situations using GeoGebra after the instruction. The joint study group follows the pattern: first data collection, intervention, second data collection. The study group has a qualitative perspective, and the interpretation of results will be supported on a qualitative analysis of the data, as well as the performances observed in the case study. We used as theoretical and methodological framework Local Theoretical Models (Puig, 2006, Filloy, Puig & Rojano, 2008). This framework allows us to make the observation and analysis of phenomena by considering the essential elements of any teaching and learning process: the teaching, the pupils who learn, the mathematical knowledge put into play and the process of communication. From the perspective of Local Theoretical Models (LTM), these elements are incorporated into the study by building for components of the LTM: a teaching model, a model of cognitive processes or performances, a formal competence model and a model of communication. The findings of the research summary performances of students in both the study group and the study of cases. Below are the most relevant: • Ideas of fit: students have different ways of approaching, understanding and using the idea of fit, depending on the elements that have to support (tables, graphs, statistical tools of the software) and the stage of the modeling process in which they are. • Tendency to Linearity: some students tend to see the point cloud as a linear function. • Tendency to use statistics tools GG to find the best fit function. • Other methods of fit: students in addition to the manual setting and the use of statistical tools GG, also employ a manual adjustment using the slider and an adjustment using the "drag" tool of dynamic geometry software. • Students use coordinates of a point as Parametric Indicator for geometric translation of functions. • Students use the Qualitative Analysis of the process as a control mechanism.