A lo largo de la presente Tesis, se estudia el flujo por la curvatura media asociado a una densidad (FCMpsi) de una hipersuperficie, en una variedad riemanniana con densidad. Los principales resultados se obtienen para el caso particular en el que la dimensión de la variedad ambiente es dos y las subvariedades son curvas. A dicho problema, se le llamará problema del acortamiento de curvas asociado a una densidad (PACpsi). En el capítulo uno, se presentan los conceptos básicos para desarrollar y comprender el trabajo de la Tesis. Se da la definición del problema a abordar, se introducen las herramientas necesarias para su estudio y se calculan las fórmulas de variación de las cantidades geométricas asociadas a las subvariedades que constituyen la solución del flujo. A su vez, se incluyen en esta sección los primeros resultados originales. En el capítulo siguiente, se estudia el PACpsi en el caso particular en que la densidad es diferenciable en la región donde se da la evolución de la curva. Los resultados principales de esta sección se refieren a la descripción de la evolución, bajo el PACpsi, de una curva cerrada y embebida en el plano con una densidad radial, y a un resultado de subconvergencia a una curva cerrada y psi-mínima en una superficie bajo algunas circunstancias generales, cuando el tiempo máximo de existencia para la solución es infinito. Dicho resultado de subconvergencia, junto al trabajo desarrollado por Angenent, Oaks y Xi-Ping Zhu, generaliza al caso con densidad los resultados obtenidos por Gage, Grayson y Hamilton en la década de los ochenta para el problema del acortamiento de curvas. En el capítulo tres, se definen las singularidades de tipo I para el flujo por la curvatura media asociado a una densidad, psi, y se describe el blow-up en el tiempo máximo en el que se dan estas singularidades. En esta parte de la Tesis se pone especial atención al caso donde la singularidad se produce por la parte de la psi-curvatura debida a la densidad. Atendiendo a este objetivo, se describe una familia de curvas cuya evolución bajo el PACpsi (en una superficie riemanniana de curvatura de Gauss no negativa y con una densidad que es singular en una geodésica de la superficie) produce únicamente singularidades de tipo I y se procede a estudiar los límites de estos blow-up. Como consecuencia de este estudio, y gracias a la relación entre submersiones riemannianas y geometría con densidad, se obtiene un resultado para el flujo por la curvatura media de hipersuperficies de revolución en espacios rotacionalmente simétricos con curvatura seccional no negativa. Este resultado generaliza ciertos resultados obtenidos por Huisken, Altschuler, Angenent y Giga para superficies de revolución en el espacio euclídeo. Los resultados del segundo capítulo junto a algunos de los del primer capítulo constituyen el contenido del artículo: Miquel, V., and Viñado-Lereu, F. The curve shortening problem associated to a density. Calculus of Variations and Partial Differential Equations 55:61, 3 (June 2016), 1 - 30. Los resultados del tercer capítulo junto a algunos de los del primer capítulo constituyen el contenido del preprint: Miquel, V., and Viñado-Lereu, F. Type I singularities in the curve shortening flow associated to a density. Preprint arXiv.org: 1607.08402v1 (2016).