A lo largo de esta tesis, todos los conjuntos, grupos, cuerpos y módulos considerados se suponen finitos. Consideremos un grupo G actuando sobre un conjunto no vacío Ω. Decimos que la órbita de un w ∈ Ω es regular si C G (w) = {g ∈ G : wg = w} = 1; en este caso, dicha órbita consta de |G| elementos. El estudio de órbitas regulares de grupos lineales, es decir, órbitas regulares de acciones de subgrupos de GL(V ), siendo V un espacio vectorial, es importante en el desarrollo de muchas ramas de la teoría de grupos, incluendo los grupos resolubles, teoría de representaciones y grupos de permutaciones. De hecho, la solución de algunos problemas importantes en el área como el problema k(GV ) ([22]) depende de la existencia de este tipo de órbitas. De esta forma, el problema de la existencia de órbitas regulares es un área de investigación activa e interesante de la teoría de grupos. Espuelas ([7, Theorem 3.1]) demostró que si G es un grupo de orden impar y V es un G-módulo fiel y completamente reducible de característica impar, entonces G tiene una órbita regular en V ⊕ V . Dolfi y Jabara ([6, Theorem 2]) extendieron el resultado de Espuelas al caso en el que los 2-subgrupos de Sylow del producto semidirecto [V ]G de V y el grupo resoluble G son abelianos, y Yang ([28]) demostró que el mismo resultado es cierto si 3 no divide el orden del grupo resoluble G. Wolf ([24, Theorem A]) demuestra un resultado similar en el case de que G es superresoluble. En el caso de que G sea nilpotente, dicho resultado se puede mejorar ([20]). Dolfi ([5, Theorem 1.4]), utilizando técnicas de Seress ([23, Theorem 2.1]), demostró que cualquier grupo resoluble G tiene una órbita regular en V ⊕ V ⊕ V y si (|V |, |G|) = 1 o G es de orden impar, entonces G también tiene una órbita regular en V ⊕ V ([5, Theorems 1.1, 1.5]). Más recientemente, Yang ([29]) extiende algunos de estos resultados para subgrupos H de un grupo resoluble G. Demuestra que si V es un G-módulo fiel y completamente reducible (posiblemente de característica mixta) y si H es nilpotente o 3 no divide el orden de H, entonces H tiene al menos tres órbitas regulares en V ⊕ V . Si los 2-subgrupos de Sylow del producto semidirecto [V ]H son abelianos, entonces H tiene al menos dos órbitas regulares en V ⊕ V . El primer resultado importante de nuestro trabajo de tesis proporciona condiciones suficientes más generales para la existencia de órbitas regulares. La mayor parte de los resultados anteriores son consecuencias inmediatas del mismo. Teorema A. Consideremos un grupo resoluble G, y V un G-módulo fiel y completamente reducible (posiblemente de característica mixta). Supongamos que H es un subgrupo de G tal que el producto semidirecto [V ]H es S 4 -libre. Entonces H tiene al menos dos órbitas regulares en V ⊕ V . Además, si H es Γ(2 3 )-libre y SL(2, 3)-libre, entonces H tiene al menos tres órbitas regulares en V ⊕ V . Recordamos que si G y X son grupos, decimos que G es X-libre si X no se puede obtener como un cociente de un subgrupo de G. Desgraciadamente, la supersolubilidad de un subgrupo H no implica que V H es S 4 -libre en general. Por lo tanto, el teorema A extiende todos los resultados mencionados anteriormente, excepto el teorema de Wolf [24, Theorem A]. En consecuencia, la pregunta de si el teorema de Wolf se verifica para cada subgrupo superresoluble de un grupo resoluble completamente reducible G de GL(V ) es pertinente e interesante. El segundo resultado importante de nuestro trabajo responde afirmativamente a dicha pregunta. Teorema B. Consideremos un grupo resoluble G y V un G-módulo fiel y completamente reducible (posiblemente de característica mixta). Supongamos que H es un subgrupo superresoluble de G. Entonces H tiene al menos una órbita regular en V ⊕ V . La primera aplicación importante los resultados anteriores se sitúa en el contexto de la conjetura de Gluck. Consideremos un grupo G. Como es habitual, denotamos por Irr(G) el conjunto de todos los caracteres irreducibles complejos de G y consideramos b(G) = máx{χ(1) | χ ∈ Irr(G)}, el mayor grado de un carácter irreducible de G. Gluck [9] conjeturó que si G es resoluble, entonces |G : F(G)| ≤ b(G)^2 , siendo F(G) el subgrupo de Fitting de G. La conjetura de Gluck aún permanece todavía sin resolver y ha sido objeto de un muy exhaustivo estudio (ver [2, 6, 7, 24, 28]). Nuestro tercer resultado principal incluye casi todas las aportaciones conocidas a la conjetura de Gluck como casos particulares, y podría ser muy útil para resolver dicha conjetura en el futuro. Teorema C. Consideremos un grupo resoluble que satisface una de las siguientes condiciones: 1. G es S4-libre; 2. G/F(G) es S4-libre y F(G) es de orden impar; 3. G/F(G) es S3-libre; 4. G/F(G) es superresoluble. Entonces la conjetura de Gluck es cierta para G. La segunda aplicación de nuestros teoremas sobre órbitas regulares se localiza en el estudio de intersecciones de distinguidos subgrupos de grupos resolubles. Dolfi [5] demostró que si π es un conjunto de números primos, el mayor grupo normal π-subgroup O π (G) de un grupo π-soluble G es la intersección de tres G-conjugados de un π-subgrupo de Hall H de G. Este resultado extiende los teoremas anteriores de Passman [21] (caso |π| = 1) y Zenkov [30] (caso H es nilpotente). Por otra parte, como Mann hizo notar en [17], los resultados de Passman implican que el subrupo de Fitting de un grupo resoluble G es la intersección de tres G-conjugados de un inyector nilpotente H de G. Teniendo en cuenta los resultados anteriores, y dada la importancia de los subgrupos de prefrattini y los normalizadores de sistemas en el estudio estructural de los grupos resolubles, las siguientes preguntas son naturales e interesantes: Problema 1. [19, Kamornikov, Problem 17.55] ¿Existe una constante positiva k tal que el subgrupo Frattini Φ(G) de un grupo resoluble G es la intersección de k G-conjugados de cualquier subgrupo prefrattini H de G? Problema 2. [19, Shemetkov and Vasil’ev, Problem 17.39] ¿Existe una constante positiva k tal que el hipercentro de cualquier grupo resoluble G coincide con la intersección de k G-conjugados de los normalizadores de de sistemas de G? ¿Cuál es el número mínimo con esta propiedad? Nuestro último resultado principal proporciona soluciones generales a los problemas anteriores. Teorema D. Consideremos un grupo G y un subgrupo H de G. Supongamos que se cumple una de las siguientes afirmaciones. 1. H es un subgrupo F-prefrattini de G para alguna formación saturada F; 2. Φ(G) = 1 y H es un normalizador de F de G para alguna formación saturada F; 3. H es un inyector de F de G para alguna clase de Fitting F. Entonces existen x, y, z ∈ G tal que H ∩H x ∩H y ∩H z = Core G (H). Además, si G es S 4 -libre o F está formada por grupos S 3 -libres, existen x, y ∈ G tales que H ∩ H x ∩ H y = Core G (H). La tesis se organiza de la siguiente manera. En el capítulo 1, presentamos notación, terminología y resultados preliminares. Las demostraciones de los teoremas A y B fundamentan el capítulo 2. Nuestras aportaciones a la conjetura de Gluck se presentan en el capítulo 3, incluida la demostración del teorema C y sus consecuencias. El estudio de las intersecciones de subgrupos de prefrattini y normalizadores de sistemas (teorema D) se presenta en el capítulo 4.Throughout this thesis, all groups, fields and modules to be considered are finite, and we assume this without further comment. Let G be a group and let Ω be a G-set. The element w in Ω is in a regular orbit if C G (w) = {g ∈ G : wg = w} = 1, i. e., the orbit of w is as large as possible and it has size |G|. The study of regular orbits of actions of linear groups, that is, regular orbits of actions of subgroups of GL(V ) on a vector space V plays an important role in many branches of group theory, including the study of soluble groups, representation theory of finite groups and finite permutation groups. In fact, the solution of some well-known problems such as the so-called k(GV )-problem ([22]) depends on the existence of such orbits. Consequently, the problem of the existence of regular orbits has attracted the attention of several authors and it is an active and interesting research area in group theory. In order to understand and motivate what is to follow it is convenient to use some previous results as a model. Espuelas (see [7, Theorem 3.1]) proved that if G is a group of odd order and V is a faithful and completely reducible G-module of odd characteristic, then G has a regular orbit on V ⊕ V . Dolfi and Jabara ([6, Theorem 2]) extended Espuelas’ result to the case where the Sylow 2-subgroups of the semidirect product [V ]G of V and the soluble group G are abelian, and Yang ([28]) proved that the same is true if 3 does not divide the order of the soluble group G. A result of Wolf ([24, Theorem A]) shows that a similar result holds if G is supersoluble (see also [20] for an improved result when G is nilpotent). Dolfi ([5, Theorem 1.4]), reproving a result of Seress ([23, Theorem 2.1]), proved that any soluble group G has a regular orbit on V ⊕ V ⊕ V and if either (|V |, |G|) = 1 or G is of odd order, then G has also a regular orbit on V ⊕ V ([5, Theorems 1.1, 1.5]). More recently, Yang ([29]) extend some of these results to the case when H is a subgroup of the soluble group G by proving that if V is a faithful completely reducible G-module (possibly of mixed characteristic) and if either H is nilpotent or 3 does not divide the order of H, then H has at least three regular orbits on V ⊕ V . If the Sylow 2-subgroups of the semidirect product [V ]H are abelian, then H has at least two regular orbits on V ⊕ V . We prove that almost all previous results are consequences of the following surprising theorem. Theorem A. Let G be a finite soluble group and V be a finite faithful completely reducible G-module (possibly of mixed characteristic). Suppose that H is a subgroup of G such that the semidirect product V H is S 4 -free. Then H has at least two regular orbits on V ⊕ V . Furthermore, if H is Γ(2 3 )-free and SL(2, 3)-free, then H has at least three regular orbits on V ⊕ V . Recall that if G and X are groups, then G is said to be X-free if X cannot be obtained as a quotient of a subgroup of G; Γ(2 3 ) denotes the semilinear group of the Galois field of 2 3 elements. The S 4 -free hypothesis in Theorem A is not superfluous (see [6, Example 1]). Note that the supersolubility of H does not imply that V H is S 4 -free in general. Hence Theorem A covers all the aforementioned results except the theorem of Wolf [24, Theorem A]. Thus the answer to the question of whether or not Wolf’s theorem holds for every supersoluble subgroup of a finite completely reducible soluble subgroup G of GL(V ), even if the supersoluble subgroup is not completely reducible, is a natural next objective. Our second main result gives a complete answer to this question. Theorem B. Let G be a finite soluble group and V be a finite faithful completely reducible G-module (possibly of mixed characteristic). Suppose that H is a supersoluble subgroup of G. Then H has at least one regular orbit on V ⊕ V . Our results have found an application to Gluck’s conjecture about large character degrees. Let G be a finite group and let Irr(G) denote the set of all irreducible complex characters of G and write b(G) = max{χ(1) | χ ∈ Irr(G)}, so that b(G) is the largest irreducible character degree of G. Gluck [9] conjectured that if G is soluble, then |G : F(G)| ≤ b(G) 2 , where F(G) is the Fitting subgroup of G. Gluck’s conjecture is still open and has been studied extensively (see [2, 6, 7, 24, 28]). Our third main result is a significant step to the solution of Gluck’s conjecture subsuming the earlier ones, and it could be very useful to solve Gluck’s conjecture in the future. Theorem C. Let G be a soluble group satisfying one of the following conditions: 1. G is S 4 -free; 2. G/ F(G) is S 4 -free and F(G) is of odd order; 3. G/ F(G) is S 3 -free; 4. G/ F(G) is supersoluble. Then Gluck’s conjecture is true for G. Another interesting problem where the regular orbits play an important role is the study of intersections of canonical conjugate subgroups of finite soluble groups. Dolfi [5] proved that if π is a set of primes, the largest normal π-subgroup O π (G) of a π-soluble group G is the intersection of three G-conjugates of a given Hall π-subgroup H of G. This result extends earlier theorems of Passman [21] (case |π| = 1) and Zenkov [30] (case H nilpotent). On the other hand, as Mann pointed out in [17], the results of Passman imply that the Fitting subgroup F(G) of a soluble group G is the intersection of three G-conjugates of a nilpotent injector H of G. Due to the above results and the important role played by the system normalisers and prefrattini subgroups in the structural study of soluble groups, the following questions turn out to be natural and interesting: Problem 1. [19, Kamornikov, Problem 17.55] Does there exist an absolute constant k such that the Frattini subgroup Φ(G) of a soluble group G is the intersection of k G-conjugates of any prefrattini subgroup H of G? Problem 2. [19, Shemetkov and Vasil’ev, Problem 17.39] Is there a positive integer k such that the hypercentre of any finite soluble group coincides with the intersection of k system normalisers of that group? What is the least number with this property? Our fourth main result provides general answers to the above two questions. Theorem D. Let G be a finite soluble group and let H be a subgroup of G. Assume that one of the following statements holds. 1. H is an F-prefrattini subgroup of G for some saturated formation F; 2. Φ(G) = 1 and H is a F-normaliser of G for some saturated formation F; 3. H is an F-injector of G for some Fitting class F. Then there exists x, y, z ∈ G such that H ∩H x ∩H y ∩H z = Core G (H), the largest normal subgroup of G contained in H. Furthermore, if G is S 4 -free or F is composed of S 3 -free groups, there exists x, y ∈ G such that H ∩H x ∩H y = Core G (H). Chapter 1 contains the basic material we need about finite groups and their representations. In Chapter 2 we set the scence, giving the proofs of Theorems A and B. Chapter 3 is about Gluck’s Conjecture and includes the proof of Theorem C. The study of intersections of some canonical conjugate subgroups and the proof of Theorem D are the main contents of Chapter 4.