El món digital ha comportat l'aparició de molts tipus de dades, de mida i complexitat creixents. De fet, els dispositius moderns ens permeten obtenir fàcilment imatges de major resolució, així com recopilar dades sobre cerques a la xarxa, anàlisis sanitàries, xarxes socials, sistemes d'informació geogràfica, etc. En conseqüència, l'estudi i el tractament d'aquests grans conjunts de dades té un gran interès i valor. En aquest sentit, els grafs ponderats proporcionen un espai de treball natural i flexible on representar les dades. En aquest context, un vèrtex representa una dada concreta i a cada aresta se li assigna un pes segons alguna mesura de semblança adequadament triada entre els vèrtexs corresponents. Històricament, les principals eines per a l’estudi de grafs provenien de la combinatòria i la teoria de grafs. No obstant això, després de la implementació de l'operador laplacià (discret) associat a un graf en el desenvolupament de l'agrupació espectral als anys setanta, la teoria d'equacions diferencials parcials en grafs ha obtingut resultats importants en aquest camp. Això ha provocat un gran augment de la investigació de les equacions diferencials parcials en grafs. A més, l'interès s'ha vist reforçat per l'estudi de problemes en el processament d'imatges. En aquesta àrea de recerca, els píxels juguen el paper dels vèrtexs i els pesos estan associats a la similitud entre els píxels corresponents. La forma en què es defineixen aquests pesos depèn del problema que ens ocupa. D'una altra banda, sigui J una funció no negativa de R^N en R, radialment simètrica i contínua amb integral igual a 1. Equacions d'evolució no local de la forma: u_t(x,t)=\int_{R^N}J(y-x)u(y,t)dy-u(x,t) i les seves variacions, han sorgit de manera natural en diversos camps científics com a mitjà per modelar una àmplia gamma de processos de difusió. Per exemple, en biologia, sistemes de partícules, models de coagulació, models anisotròpics no locals per a transicions de fase, finances matemàtiques mitjançant una teoria de control òptima, processament d'imatges, etc. Un raonament intuïtiu que explica el grau d'aplicabilitat d’aquest model prové de pensar en u(x,t) com la densitat d’una població en un punt x en el moment t i en J(y-x) com a la distribució de probabilitats de passar de y a x en un salt. Aleshores, \int_{R^N}J(y-x)u(y,t)dy és la taxa a la qual els individus arriben a x des de qualsevol altre lloc i -u(x,t)=-\int_{R^N} J(y-x)u(x,t)dy és la velocitat a la qual surten de la ubicació x. Per tant, en absència de fonts externes o internes, ens conduirà a l'equació anterior com a model per a l'evolució de la densitat de població al llarg del temps. Recapitulant, hem avançat dos casos en què hi ha un gran interès en l’estudi d’equacions diferencials parcials en un entorn no local (o discret). L'anàlisi de la formulació peridinàmica de la mecànica contínua, així com l'estudi dels processos de salt de Markov i altres models no locals, han augmentat aquest interès. L'objectiu d'aquesta tesi és unificar en un marc ampli l'estudi de molts dels problemes esmentats anteriorment. Per fer-ho, observem que hi ha una forta relació entre alguns d’aquests problemes i la teoria de la probabilitat, i és en aquest camp on trobem els espais adequats per desenvolupar aquest estudi unificador. Concretament, els espais de passeig aleatori proporcionen el marc adequat per complir els nostres objectius d'unificar una àmplia varietat de models no locals. Aquests espais estan constituïts per un espai mesurable (X,B) i un nucli de probabilitat de transició P en X que codifica els salts d'un procés de Markov. Adoptarem la notació m_x:=P(x,.) per a cada x a X. A més, requerirem una mena de propietat d'estabilitat per a aquests espais, és a dir, l'existència d'una mesura invariant \nu. Aleshores, direm que [X, B, m, \nu] és un espai de passeig aleatori. Degut a la generalitat d’aquests espais, els resultats que obtindrem tindran un gran ventall d’aplicabilitat a una àmplia gamma de problemes d’evolució sorgits en diversos camps científics. Malauradament, aquest marc no cobreix problemes relacionats amb el nucli fraccionari degut a la seva naturalesa singular. Durant els darrers anys i tenint en compte l’objectiu esmentat, hem estudiat alguns fluxos gradient en el marc general d’un espai de passeig aleatori. En particular, hem estudiat el flux de la calor, el flux per la variació total i problemes d’evolució del tipus Leray-Lions amb diferents tipus de condicions de frontera no homogènies. Concretament, juntament amb l’existència i la unicitat de solucions a aquests problemes i el comportament asimptòtic de les seves solucions, s’han estudiat una àmplia varietat de propietats, així com els operadors de difusió no locals que hi participen.